Розглянемо переклад з будь-якої системи числення (з будь-яким цілим числом в підставі) в десяткову. Для цього шукане число, наприклад, 123 потрібно записати за формулою записи числа, прийнятої в вихідної системі числення. Візьмемо для прикладу восьмеричну систему. Виходячи з назви, підставою є цифра 8, це означає, що кожен розряд числа є ступенем підстави за спаданням, в даному випадку це друга, перша і нульова ступінь (8 в нульовий ступеня = 1). Число 123 записується в такий спосіб: 1 * 8 * 8 + 2 * 8 + 3 * 1. Перемножте цифри і отримаєте 64 +16 +3, в результаті - 83. Це число і буде представленням шуканого числа в десятковій системі числення.

для шестнадцатеричной системи розрахунок складніше. У ній крім цифр в поданні беруть участь літери латинського алфавіту, тобто повний розряд складає цифри від 0 до 9 і букви від A до F. Наприклад, число 6B6 за формулою записи числа буде виглядати так: 6 * 16 * 16 + 11 * 16 + 6 * 1, де В = 11. Перемножте цифри і отримаєте 1 536 + 176 + 6, в результаті - 1718. Це - те ж число в десятковій системі числення.

Переклад з десяткової системи в двійкову, вісімкову і шістнадцяткову проводиться шляхом послідовного ділення на підставу (2, 8 і 16) до тих пір, поки не залишиться число менше дільника. Залишки виписуються в зворотному порядку. Наприклад, переведемо число 40 в двійкову систему, для цього: розділіть 40 на 2, пишіть 0, 20 на 2, пишіть 0, 10 на 2, пишіть 0, 5 на 2, пишіть 1, 2 на 2, пишіть 0 і 1. отримуємо підсумкове число в двійковій системі - 101000.

Переведемо число 123 з десяткової системи в вісімкову, залишки також пишуться в зворотному порядку. Делите 123 на 8, виходить 15 і 3 в залишку, пишіть 3. ділите 15 на 8, виходить 1 і 7 в залишку, пишіть 7. У старшому розряді пишіть залишилася 1. Підсумкове число - 173.

Переведемо число 123 з десяткової системи в шістнадцяткову. Делите 123 на 16, виходить 7, 11 в залишку. Отже, цифра старшого розряду - 7, цифра 11 менше підстави і позначається буквою B. Отримуємо підсумкове число - 7B.

Щоб перевести будь-яке число в двійкову систему числення, потрібно кожну цифру розряду вихідного числа записати у вигляді четвірки чисел згідно з таблицею, наприклад, для десяткової системи: 0 = 0000 1 = 0001 2 = 0010, 3 = 0011, 4 = 0100, 5 = 0101 і так далі.

Для перекладу з двійкової системи в вісімкову або шістнадцяткову потрібно розбити вихідне число на четвірки або тріади по двійковій системі, а потім кожну з комбінацій (тріад або четвірок) замінити відповідною цифрою в підсумковій системі.

Двійкова система - найпростіша. У ній всього дві цифри - нуль і одиниця. Кожна цифра двійкового числа, починаючи з кінця, відповідає ступеню двійки. Два в нульовий ступеня дорівнює одному, в першій - двом, у другій - чотирьом, у третій - восьми, і так далі.

Припустимо, що вам дано двійкове число 1010110. Одиниці в ньому стоять на другому, третьому, п`ятому та сьомому з кінця місцях. Тому в десятковій системі це число дорівнює 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 4 + 2 ^ 6 = 2 + 4 + 16 + 64 = 86.

Зворотній завдання - переклад десяткового числа в двійкову систему. Припустимо, у вас є число 57. Щоб отримати його двійкову запис, ви повинні послідовно ділити це число на 2 і записувати залишок від ділення. Двійкове число буде будуватися від кінця до початку.
Перший крок дасть вам останню цифру: 57/2 = 28 (залишок 1).
Потім ви отримуєте другу з кінця: 28/2 = 14 (залишок 0).
Подальші кроки: 14/2 = 7 (залишок 0);
7/2 = 3 (залишок 1);
3/2 = 1 (залишок 1);
1/2 = 0 (залишок 1).
Це останній крок, тому що результат ділення дорівнює нулю. У підсумку ви отримали двійкове число 111001.
Перевірте правильність відповіді: 111001 = 2 ^ 0 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 = 1 + 8 + 16 + 32 = 57.

Друга система числення, яка використовується в комп`ютерних питаннях - шістнадцяткова. У ній не десять, а шістнадцять цифр. Щоб не створювати нових умовних позначень, перші десять цифр шістнадцятковій системи позначаються звичайними цифрами, а решта шість - латинськими літерами: A, B, C, D, E, F. десяткового запису вони відповідають числам від 10 до 15. Щоб уникнути плутанини перед числом, записаним по шестнадцатеричной системі, ставлять знак # або символи 0x.

щоб перевести число з шістнадцятковій системи в десяткову, потрібно кожну його цифру помножити на відповідний ступінь шістнадцяти і скласти результати. Наприклад, число # 11A в десяткового запису дорівнює 10 * (16 ^ 0) + 1 * (16 ^ 1) + 1 * (16 ^ 2) = 10 + 16 + 256 = 282.

Зворотній переклад з десяткової системи в шістнадцяткову відбувається тим же методом залишків, що і в двійкову. Наприклад, візьміть число 10000. Послідовно ділячи його на 16 і записуючи залишки, ви отримаєте:
10000/16 = 625 (залишок 0).
625/16 = 39 (залишок 1).
39/16 = 2 (залишок 7).
2/16 = 0 (залишок 2).
Результатом обчислень стане шістнадцяткове число # 2710.
Перевірте правильність відповіді: # 2710 = 1 * (16 ^ 1) + 7 * (16 ^ 2) + 2 * (16 ^ 3) = 16 + 1792 + 8192 = 10000.

перекладати числа з шістнадцятковій системи числення в двійкову набагато простіше. Число 16 є ступенем двійки: 16 = 2 ^ 4. Тому кожну шестнадцатеричную цифру можна записати як чотиризначний двійковечисло. Якщо у вас в довічним числі виходить менше чотирьох знаків, додавайте в початок нулі.
Наприклад, # 1F7E = (0001) (1111) (0111) (1110) = 1111101111110.
Перевірте правильність відповіді: обидва числа в десяткового запису рівні 8062.

Для зворотного перекладу вам потрібно розбити двійкове число на групи по чотири цифри, починаючи з кінця, і кожну таку групу замінити шістнадцятковій цифрою.
Наприклад, 11000110101001 перетворюється в (0011) (0001) (1010) (1001), що в шістнадцятковій запису дає # 31A9. Правильність відповіді підтверджується перекладом в десяткову запис: обидва числа рівні 12713.