Комплексні числа - подальше розширення поняття числа в порівнянні з дійсними числами. Введення в математику комплексних чисел дозволило надати закінченого вигляду багатьом закономірностям і формулами, а також виявило глибокі зв`язки між різними областями математичної науки.
Інструкція
1
Як відомо, ніяке дійсне число не може бути квадратним коренем з негативного числа, тобто, якщо b lt; 0, то неможливо знайти таке a, щоб a ^ 2 = b.
У зв`язку з цим було вирішено ввести нову одиницю, за допомогою якої можна було б висловити таке a. Вона отримала назву уявної одиниці і позначення i. Уявна одиниця дорівнює квадратному кореню з -1.
2
Оскільки i ^ 2 = -1, то (-b ^ 2) = ((- 1) * b ^ 2) = (-1) * (b ^ 2) = ib. Так вводиться поняття уявного числа. Будь-яке уявне число можна виразити у вигляді ib, де b - дійсне число.
3
Дійсні числа можна представити у вигляді числової осі від мінус нескінченності до плюс нескінченності. Уявні числа виявилося зручно представити у вигляді аналогічної осі, перпендикулярній осі дійсних чисел. Разом вони складають координати числової площині.
При цьому кожній точці числової площині з координатами (a, b) відповідає одне і тільки одне комплексне число виду a + ib, де a і b - дійсні числа. Перший доданок цієї суми називається дійсною частиною комплексного числа, друге - уявною частиною.
4
Якщо a = 0, то комплексне число називається чисто уявним. Якщо b = 0, то число називається дійсним.
5
Знак складання між дійсною і уявною частинами комплексного цифри не позначає їх арифметичної суми. Швидше за комплексне число можна представити у вигляді вектора, початок якого збігається з початком координат, а кінець знаходиться в точці (a, b).
Як у будь-якого вектора, у комплексного числа є абсолютне значення, або модуль. Якщо z = x + iy, то | z | = (x2 + y ^ 2).
6
Два комплексних числа вважаються рівними тільки в тому випадку, якщо дійсна частина одного дорівнює дійсної частини іншого і уявна частина одного дорівнює уявної частини іншого, тобто:
z1 = z2, якщо x1 = x2 і y1 = y2.
Однак для комплексних чисел не мають сенсу знаки нерівності, тобто не можна сказати, що z1 lt; z2 або z1 gt; z2. Порівнювати таким чином можна тільки модулі комплексних чисел.
7
Якщо z1 = x1 + iy1 і z2 = x2 + iy2 - комплексні числа, то:
z1 + z2 = (x1 + x2) + i (y1 + y2);
z1 - z2 = (x1 - x2) + i (y1 - y2);
Легко помітити, що додавання і віднімання комплексних чисел підпорядковується тим же правилом, що додавання і віднімання векторів.
8
Твір двох комплексних чисел дорівнює:
z1 * z2 = (x1 + iy1) * (x2 + iy2) = x1 * x2 + i * y1 * x2 + i * x1 * y2 + (i ^ 2) * y1 * y2.
Оскільки i ^ 2 = -1, то кінцевий результат дорівнює:
(X1 * x2 - y1 * y2) + i (x1 * y2 + x2 * y1).
9
Операції зведення в ступінь і добування кореня для комплексних чисел визначаються так само, як і для дійсних. Однак в комплексній області для будь-якого числа існує рівно n таких чисел b, що b ^ n = a, тобто n коренів n-го ступеня.
Зокрема, це означає, що будь-який алгебраїчне рівняння n-го ступеня з однією змінною має рівно n комплексних коренів, деякі з яких можуть бути і дійсними.
Увага, тільки СЬОГОДНІ! Статті за темою "Як обчислювати комплексні числа"