Як знайти аргумент комплексного числа
Комплексним числом називають число виду z = x + i * y, де x і y - дійсні числа, а i = уявна одиниця (тобто число, квадрат якого дорівнює -1). Щоб визначити поняття аргументу комплексного числа, необхідно розглянути комплексне число на комплексній площині в полярній системі координат.
1
Площина, на якій представляють комплексні числа, називається комплексною. На цій площині горизонтальну вісь займають речові числа (X), а вертикальну вісь - уявні числа (Y). На такій площині число задається двома координатами z = {x, y}. В полярній системі координат координатами точки є модуль і аргумент. Модулем називають відстань | z | від точки до початку координат. Аргументом називають кут між вектором, що з`єднує точку і початок координат і горизонтальною віссю системи координат (див. Малюнок).
2
З малюнка видно, що модуль комплексного числа z = x + i * y знаходиться за теоремою Піфагора: | z | = (x ^ 2 + y ^ 2). далі аргумент числа z знаходиться як гострий кут трикутника - через значення тригонометричних функцій sin, cos, tg: sin = y / (x ^ 2 + y ^ 2),
cos = x / (x ^ 2 + y ^ 2),
tg = y / x.
cos = x / (x ^ 2 + y ^ 2),
tg = y / x.
3
Наприклад, нехай дано число z = 5 * (1 + 3 * i). Насамперед виділіть речову і уявну частини: z = 5 +5 * 3 * i. Виходить, що речова частина x = 5, а уявна частина y = 5 * 3. Обчисліть модуль числа: | Z | = (25 + 75) = 100 = 10. Далі знайдіть синус кута : sin = 5/10 = 1 / 2. Звідси виходить аргумент числа z дорівнює 30 °.
4
Приклад 2. Нехай дано число z = 5 * i. За малюнком видно, що кут = 90 °. Перевірте це значення за формулою, наведеною вище. Запишіть координати даного числа на комплексній площині: z = {0, 5}. модуль числа | Z | = 5. Тангенс кута tg = 5/5 = 1. Звідси випливає, що = 90 °.
5
Приклад 3. Нехай необхідно знайти аргумент суми двох комплексних чисел z1 = 2 + 3 * i, z2 = 1 + 6 * i. За правилами складання складаєте ці два комплексних числа: Z = z1 + z2 = (2 + 1) + (3 + 6) * i = 3 + 9 * i. Далі з поступовим зниженням дози розраховуєте аргумент: tg = 9/3 = 3.
Зверніть увагу
Якщо число z = 0, то значення аргументу для нього не визначено.
Корисна порада
Значення аргументу комплексного числа визначається з точністю до 2 * * k, де k - будь-яке ціле число. Значення аргументу таке, що - lt; називається головним значенням аргументу.
Статті за темою "Як знайти аргумент комплексного числа"
Оцініть, будь ласка статтю