В аналітичній геометрії положення безлічі точок, що належать прямій лінії в просторі, описується рівнянням. Для будь-якої точки простору щодо цієї лінії можна визначити параметр, який називається відхиленням. Якщо він дорівнює нулю, значить, точка лежить на лінії, а будь-яке інше значення відхилення, узяте по модулю, визначає найкоротша відстань між прямою і точкою. Розрахувати його можна, якщо відомо рівняння лінії і координати точки.
Інструкція
1
Для вирішення завдання в загальному вигляді позначте координати точки як A (X -Y -Z ), координати найближчої до неї точки на даній прямій - як A (X -Y -Z ), а рівняння прямої запишіть в такому вигляді: a * X + b * Y + c * Z - d = 0. Вам потрібно визначити довжину відрізка A A , який лежить на лінії, перпендикулярній по відношенню до описуваної рівнянням. Перпендикулярний ( «нормальний») спрямовує вектор = {a-b-c} допоможе скласти канонічні рівняння проходить через точки A і A прямий: (X-X ) / a = (Y-Y ) / b = (Z-Z ) / c.
2
Запишіть канонічні рівняння в параметричній формі (X = a * t + X , Y = b * t + Y і Z = c * t + Z ) і знайдіть значення параметра t , при якому вихідна і перпендикулярна до неї прямі перетинаються. Для цього підставте параметричні вираження в рівняння вихідної прямий: a * (a * t + X ) + b * (b * t + Y ) + c * (c * t + Z ) - d = 0. Потім висловіть з рівності параметр t : t = (d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c ).
3
Підставте отримане на попередньому кроці значення t в визначають координати точки A параметричні рівняння: X = a * t + X = a * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + X , Y = b * t + Y = b * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + Y і Z = c * t + Z = c * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + Z . Тепер у вас є координати двох точок, залишилося розрахувати визначається ними відстань (L).
4
Для отримання чисельного значення відстані між точкою з відомими координатами і прямий, що задається відомим рівнянням, розрахуйте чисельні значення координат точки A (X -Y -Z ) за формулами з попереднього кроку і підставте значення в цю формулу:
L = (a * (X - X ) + b * (Y - Y ) + c * (Z - Z )) / (a + b + c )
Якщо ж і результат треба отримати в загальному вигляді, він буде описуватися досить громіздким рівнянням. Замініть величини проекцій точки A на три координатні осі равенствами з попереднього кроку і спростите наскільки можливо отримане рівність:
L = (a * (X - X ) + b * (Y - Y ) + c * (Z - Z )) / (a + b + c ) = (a * (X - a * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + X ) + b * (Y - b * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + Y ) + c * (Z - c * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + Z )) / (a + b + c ) = (a * (2 * X - a * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c ))) + b * (2 * Y - b * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c ))) + c * (2 * Z - c * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )))) / (a + b + c ) = (2 * a * X - a * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + 2 * b * Y - b * ((d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c )) + 2 * c * Z - c * ( (d - a * X - b * Y - c * Z ) / (a + b + c ))) / (a + b + c )
5
Якщо значення має тільки чисельний результат, а хід виконання завдання не важливий, скористайтеся онлайн-калькулятором, який призначений саме для розрахунку відстані між точкою і прямою в ортогональній системі координат тривимірного простору - https://ru.onlinemschool.com/math/assistance/ cartesian_coordinate / p_line. Тут ви можете помістити у відповідні поля координати точки, ввести рівняння прямої в параметричному або канонічному вигляді, а потім отримати відповідь, натиснувши кнопку «Знайти відстань від точки до прямої».
Увага, тільки СЬОГОДНІ! Статті за темою "Як знайти відстань від точки до прямої в просторі"