Як вирішувати системи лінійних рівнянь

Метод підстановки або послідовного ісключенія.Подстановку використовують в системі з невеликою кількістю невідомих. Це найпростіший метод вирішення для нескладних систем. Спочатку з першого рівняння висловлюємо одне невідоме через інші, підставляємо це вираз в друге рівняння. Висловлюємо з перетвореного другого рівняння друге невідоме, підставляємо отримане в третє рівняння і т.д. до тих пір, поки не обчислимо останнім невідоме. Потім підставляємо його значення в попереднє рівняння і дізнаємося передостаннє невідоме і т.д. Розглянемо приклад системи з двома неізвестнимі.x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Висловимо з першого рівняння x: x = 3 - y. Підставимо в друге рівняння: 2 (3 - y) - y - 3 = 0
6 - 2y - y - 3 = 0
3 - 3y = 0
y = 1
Підставляємо в перше рівняння системи (Або в вираз для x, що одне й те саме): x + 1 - 3 = 0. Отримаємо, що x = 2.

Метод почленного віднімання (або додавання) .Цей метод часто дозволяє скоротити час вирішення системи і спростити обчислення. Полягає він у тому, щоб проаналізувавши коефіцієнти при невідомих таким чином скласти (або відняти) рівняння системи, щоб виключити частину невідомих з рівняння. Розглянемо приклад, візьмемо ту ж систему, що і в першому методі.
x + y - 3 = 0
2x - y - 3 = 0
Легко бачити, що при y стоять однакові по модулю коефіцієнти, але з різним знаком, тому якщо ми складемо два рівняння почленно, то yдастся виключити y. Виконаємо додавання: x + 2x + y - y - 3 - 3 = 0 або 3x - 6 = 0. Таким чином, x = 2. Підставивши це значення в будь-яке рівняння, знайдемо y.
Можна, навпаки, виключити x. Коефіцієнти при x однакові по знаку, тому будемо віднімати одне рівняння з іншого. Але в першому рівнянні коефіцієнт при x - 1, а в другому - 2, тому просто вирахуванням не вдасться виключити x. Помножимо перше рівняння на 2, отримаємо таку систему:
2x + 2y - 6 = 0
2x - y - 3 = 0
Тепер почленно віднімемо з першого рівняння друге: 2x - 2x + 2y - (-y) - 6 - (-3) = 0 або, привівши подібні, 3y - 3 = 0. Таким чином y = 1. Підставивши в будь-яке рівняння, знайдемо x.

Система т лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими має вигляд (див. Рис. 1).
У ній аij - коефіцієнти системи, хj - невідомі, bi - вільні члени (i = 1, 2, ..., т-j = 1, 2, ..., п). Практичний сенс така система має в тому випадку, коли число її рівнянь не перевищує число невідомих, тобто при m n. Справа в тому, що в іншому випадку «зайві» рівняння повинні бути лінійною комбінацією інших. Це означає, що вони їх просто повторюють. Якщо немає, то і рішення не існує (система не сумісна).

Компактно таку систему можна записувати в матричної формі АХ = B. Тут А - матриця коефіцієнтів системи, Х - матриця- стовпець невідомих, B - матриця-стовпець вільних членів (див. Рис 2). Якщо m = n, тобто є кількість невідомих і число рівнянь однаково, то матриця А квадратна. Тому для неї визначено поняття визначника матриці = | A |. При | A | 0 існує обернена матриця A . Її визначення базується на рівності АA = A A = E (E - одинична матриця). Формула для обчислення зворотної матриці також присутній на малюнку 2. Слід лише додати, що елементи Aij приєднаної матриці , звані алгебраїчними доповненнями елементів aij матриці А обчислюються наступним чином. Візьміть визначник | A | і викресліть із нього рядок і стовпець, на якому знаходиться елемент aij. Решта коефіцієнти запишіть у вигляді нового визначника, який помножте на (-1), якщо i + j НЕ парне. Відповідне число одно Aij. Алгебраїчні доповнення записуються за стовпцями приєднаної матриці.

Знайдіть рішення системи матричних способом. Для цього обидві частини системи AX = B помножте на A зліва. Отримайте (A A) X = A B, EX = A B або X = A B. Всі подробиці проілюстровані на рис. 3. На цьому ж малюнку приведена формула обчислення визначника коефіцієнтів Розкладанням по i-му стовпцю А. Згадані подробиці призводять до висновку про те, що при вирішенні систем великої розмірності матричним способом краще не користуватися. Можна просто «потонути» в обчисленнях величезного числа алгебраїчних доповнень (якщо не створювати відповідні програми). Чи виправданий це метод, мабуть, лише для систем другого порядку, так як для визначника цього порядку А = а , А = -а , А = -а , А = а . Це легко запам`ятати. А ось далі ... В іншому, це вже на любителя.

Настала пора самого, мабуть, відомого і гранично простого методу Крамера. Придивіться уважніше до вираження для визначення невідомої xi на попередньому кроці. Що вийде, якщо замість елементів стовпця B, поставити елементи i-го стовпця матриці коефіцієнтів А (для наочності це було відображено на малюнку 3). Вийде теорема розкладання для обчислення визначника | A | = по i-му стовпцю матриці А. Тому xi = i / . Визначник матриці коефіцієнтів називають головним, а i допоміжним. Для кожної невідомої допоміжний визначник знаходять за допомогою заміни i-го стовпця головного визначника на стовпець вільних членів. Детально метод Крамера для випадку системи третього порядку представлений на малюнку 4.

Найбільш загальним способом вирішення систем лінійних рівнянь є метод Гаусса. Тут число рівнянь може бути і меншим числа невідомих, m n. Метод вже був детально описаний в тематиці КакProsto.ru. Для того, щоб звернутися до нього, використовуйте перший джерело з додаткових відомостей.