Якщо прямі вже накреслені на графіку, знайдіть рішення графічним способом. Для цього продовжите обидві або одну з прямих так, щоб вони перетнулися. Потім відзначте точку перетину і опустіть з неї перпендикуляр на вісь абсцис (як правило, ох).

За допомогою шкали поділок, позначених на осі, знайдіть значення х для цієї точки. Якщо вона знаходиться на позитивному напрямку осі (праворуч від нульової позначки), то її значення буде позитивним, в іншому випадку - негативним.

Точно також знайдіть ординату точки перетину. Якщо проекція точки розташована вище нульової позначки - вона позитивна, якщо нижче - негативна. Запишіть координати точки в вигляді (х, у) - це і є рішення задачі.

Якщо прямі задані у вигляді формул у = KХ + b, ви можете також вирішити задачу графічним способом: накресліть прямі на координатній сітці і знайдіть рішення описаним вище способом.

Спробуйте знайти рішення задачі, використовуючи дані формули. Для цього складіть з цих рівнянь систему і вирішіть її. Якщо рівняння дані у вигляді у = KХ + b, просто прирівняти обидві частини з х і знайдіть х. Потім підставте значення х в одне з рівнянь і знайдіть у.

Можна знайти рішення способом Крамера. У такому разі поверніть рівняння до виду А1х + В1у + С1 = 0 і А2х + В2у + С2 = 0. Відповідно до формули Крамера х = - (С1В2-С2В1) / (А1В2-А2В1), а у = - (А1C2-А2С1) / (А1В2-А2В1). Зверніть увагу, якщо знаменник дорівнює нулю, то прямі паралельні або збігаються і, відповідно, не перетинаються.

Якщо вам дано прямі в просторі в канонічному вигляді, перед тим, як почати пошук рішення, перевірте, чи не паралельні чи прямі. Для цього оцініть коефіцієнти перед t, якщо вони пропорційні, наприклад, x = -1 + 3t, y = 7 + 2t, z = 2 + t і x = -1 + 6t, y = -1 + 4t, z = -5 + 2t, то прямі паралельні. Крім того, прямі можуть схрещуватися, в цьому випадку система не буде мати рішення.

Якщо ви з`ясували, що прямі перетинаються, знайдіть точку їх перетину. Спочатку прирівняти змінні з різних прямих, умовно замінивши t на u для першої прямої і на v для другої прямої. Наприклад, якщо вам дано прямі x = t-1, y = 2t + 1, z = t + 2 і x = t + 1, y = t + 1, z = 2t + 8 ви отримаєте висловлювання на кшталт u-1 = v +1, 2u + 1 = v + 1, u + 2 = 2v + 8.

Висловіть з одного рівняння u, підставте в інше і знайдіть v (в даній задачі u = -2, v = -4). Тепер, щоб знайти точку перетину, підставте отримані значення замість t (без різниці, в перше або друге рівняння) і отримаєте координати точки x = -3, y = -3, z = 0.

В декартових координатах загальне рівняння прямої виглідіт так: Ax + By + C = 0. Нехай дві прямі перетинаються. Рівняння першої прямої має вигляд Ax + By + C = 0, другий прямий - Dx + Ey + F = 0. Усі коефіцієнти (A, B, C, D, E, F) повинні бути задані.
Щоб знайти точку перетину цих прямих потрібно вирішити систему цих двох лінійних рівнянь.

Для вирішення першого рівняння зручно помножити на E, а друге - на B. В результаті рівняння матимуть вигляд: AEx + BEy + CE = 0, DBx + EBy + FB = 0. Після вирахування другого рівняння з першого, вийде: (AE- DB) x = FB-CE. Звідси, x = (FB-CE) / (AE-DB).
За аналогією перше рівняння вихідної системи можна помножити на D, друга - на A, потім знову з першого відняти другого. В результаті, y = (CD-FA) / (AE-DB).
Отримані значення x і y і будуть координатами точки перетину прямих.

рівняння прямих також можуть записуватися через кутовий коефіцієнт k, що дорівнює тангенсу кута нахилу прямої. У цьому випадку рівняння прямої має вигляд y = kx + b. Нехай тепер рівняння першої прямої - y = k1 * x + b1, а другий прямий - y = k2 * x + b2.

Якщо прирівняти праві частини цих двох рівнянь, то вийде: k1 * x + b1 = k2 * x + b2. Звідси легко отримати, що x = (b1-b2) / (k2-k1). Після підстановки цього значення x в будь-який з рівнянь, вийде: y = (k2 * b1-k1 * b2) / (k2-k1). Значення x і y задаватимуть координати точки перетину прямих.
У разі, якщо дві прямі паралельні або співпадають, то вони не мають спільних точок або мають нескінченно багато спільних точок відповідно. У цих випадках k1 = k2, знаменники для координат точок перетину звертатимуться до нуль, отже, система не буде мати класичного рішення.
Система може мати тільки одне класичне рішення, що природно, так як дві неспівпадаючі і не паралельні один одному прямі можуть мати тільки одну точку перетину.