Як вивести момент інерції
основною характеристикою моменту інерції є розподіл мас в тілі. Це скалярна величина, розрахунок якої залежить від величин елементарних мас і їх відстаней до базового безлічі.
1
Поняття моменту інерції пов`язано з безліччю об`єктів, здатних обертатися навколо осі. Він показує, наскільки ці об`єкти інертні під час обертання. Ця величина аналогічна масі тіла, що визначає його інертність при поступальному русі.
2
Момент інерції залежить не тільки від маси об`єкта, але і його положення щодо осі обертання. Він дорівнює сумі моменту інерції цього тіла відносно, що проходить через центр мас, і твори маси (площі перерізу) на квадрат відстані між нерухомою і дійсної осями: J = J0 + S · d .
3
При виведенні формул використовуються формули інтегрального числення, оскільки ця величина є сумою послідовності елементом, іншими словами, сумою числового ряду: J0 = y dF, де dF - площа перерізу елемента.
4
Спробуємо вивести момент інерції для найпростішої фігури, наприклад, вертикального прямокутника щодо осі ординат, що проходить через центр мас. Для цього подумки розіб`ємо його на елементарні смужки шириною dy загальною тривалістю, що дорівнює довжині фігури a. Тоді: J0 = y bdy на інтервалі [-a / 2- a / 2], b - ширина прямокутника.
5
Тепер нехай вісь обертання проходить не через центр прямокутника, а на відстані с від неї і паралельно їй. Тоді момент інерції буде дорівнює сумі початкового моменту, знайденого на першому кроці, і добутку маси (площі перерізу) на c : J = J0 + S · c .
6
Оскільки S = bdy: J = y bdy + c bdy = (y + c ) bdy.
7
Розрахуємо момент інерції для тривимірної фігури, наприклад, кулі. В цьому випадку елементами виступають плоскі диски товщиною dh. Зробимо розбиття перпендикулярно осі обертання. Підрахуємо радіус кожного такого диска: r = (R - h ).
8
Маса такого диска буде дорівнює p · · r dh, як твір обсягу (dV = · r dh) на щільність. Тоді момент інерції виглядає наступним чином: dJ = r dm = · p · (R ^ 4 - 2 * R * h + h ^ 4) dh, звідки J = 2 · dJ [0- R] = 2/5 · m · R .
Статті за темою "Як вивести момент інерції"
Оцініть, будь ласка статтю