Розгляньте найпростіший важіль (див. Рис 1), що знаходиться в положенні рівноваги. Розмістіть точку опори на горизонтальній осі з абсцисою х і помістіть на краях матеріальні точки мас m і m . Вважайте їх координати по осі 0х відомими і рівними х і х . Важіль знаходиться в положенні рівноваги, якщо моменти сил ваги Р = m g і P = m g рівні. Момент дорівнює добутку сили на її плече, яке можна знайти як довжину перпендикуляра опущеного з точки прикладання сили на вертикаль х = х . Тому, відповідно до малюнком 1, m g = m g , = х -х , = х -х . Тоді m (х -х ) = m (х -х ). Вирішіть це рівняння і отримаєте х = (m x + m x ) / (m + m ).

Для з`ясування ординати центра ваги y застосуєте ті ж самі міркування і викладки, як і на кроці 1. Як і раніше дотримуйтесь ілюстрації, наведеної на малюнку 1, де m gh = m gh , h = y -y , h = y -y . Тоді m (y -y ) = m (y -y ). Результат - у = (m у + m у ) / (m + m ). Далі вважайте, що замість системи з двох точок є одна точка М (x12, У12) загальної маси (m + m ).

До системи з двох точок додайте ще одну масу (m ) з координатами (х , у ). При обчисленні слід як і раніше вважати, що маєте справу з двома точками, де друга з них має масу (m + m ) і координати (x12, У12). Повторюючи вже для цих двох точок всі дії кроків 1 і 2, прийдете до координат центра ваги системи трьох точок x = (m x + m x + m x ) / (m + m + m ), у = (m у + m у + m y ) / ( m + m + m ). Далі додавайте четверту, п`яту і так далі точки. Після багаторазового повторення все тієї ж процедури переконайтеся, що для системи n точок координати центру ваги обчислюються за формулою (див. Рис. 2). Відзначте для себе той факт, що в процесі роботи прискорення вільного падіння g скорочувалася. Тому координати центру мас і тяжкості збігаються.

Уявіть собі, що в перерізі розташована деяка область D, поверхнева щільність якої = 1. Зверху і знизу фігура обмежена графіками кривих у = (х) і у = (х), х є [а, b]. Розбийте область D вертикалями x = x i-1 , x = x i (i = 1,2, ..., n) на тонкі смужки, такі, що їх можна приблизно вважати прямокутниками з підставами хi (див. Рис . 3). При цьому середину відрізка хi вважайте покладіть збігається з абсцисою центру мас i = (1/2) [xi + x (i-1)]. Висоту прямокутника вважайте приблизно рівною [ ( i) - ( i)]. Тоді ордината центру мас елементарної площі i = (1/2) [ ( i) + ( i)].

В силу рівномірного розподілу щільності вважайте, що центр мас смужки співпаде з її геометричним центром. Відповідна елементарна маса mi = [ ( i) - ( i)] хi = [ ( i) - ( i)] хi зосереджена в точці ( i, i). Настав момент зворотного переходу від маси, представленої в дискретної формі, до безперервної. Відповідно до формулами обчислення координат (див. Рис. 2) центра ваги утворюються інтегральні суми, проілюстровані на малюнку 4а. При граничному переході при xi 0 ( i xi) від сум до певних интегралам, отримаєте остаточну відповідь (рис. 4b). У відповіді маса відсутня. Рівність S = M слід розуміти лише як кількісне. Розмірності тут відмінні один від одного.

Нехай система складається з двох однакових точок. Тоді центр ваги, очевидно, розташовується посередині між ними. Якщо точки з координатами x1 і x2 мають різні маси m1 і m2, то координата центру мас x (c) = (m1 · x1 + m2 · x2) / (m1 + m2). Залежно від обраного «нуля» системи відліку, координати можуть бути і негативними.

Точки на площині мають дві координати: x і y. При завданні в просторі додається ще третя координата z. Щоб не розписувати кожну координату окремо, зручно розглядати радіус-вектор точки: r= X ·i+y ·j+z ·k, де i,j,k - Орт координатних осей.

Нехай тепер система складається з трьох точок з масами m1, m2 і m3. Їх радіус-вектори, відповідно, r1, r2 і r3. Тоді радіус-вектор їх центру ваги r (c)= (M1 ·r1+m2 ·r2+m3 ·r3) / (M1 + m2 + m3).

Якщо система складається з довільного числа точок, тоді радіус-вектор, за визначенням, знаходиться за формулою:
r (c)= m (i) ·r (i)/ m (i). Підсумовування проводиться за індексом i (записується знизу від знака суми ). Тут m (i) - маса деякого i-го елемента системи, r (i) - Його радіус-вектор.

Якщо тіло однорідне за масою, сума переходить в інтеграл. Розбийте подумки тіло на нескінченно маленькі шматочки масою dm. Оскільки тіло однорідне, масу кожного шматочка можна записати як dm = · dV, де dV - елементарний об`єм цього шматочка, - щільність (однакова по всьому об`єму однорідного тіла).

Інтегральне підсумовування маси всіх шматочків дасть масу всього тіла: m (i) = dm = M. Отже, виходить r (c)= 1 / M · · dV ·dr. Щільність, постійну величину, можна винести з-під знака інтеграла: r (c)= / M · dV ·dr. Для безпосереднього інтегрування знадобиться встановити конкретну функцію між dV і dr, яка залежить від параметрів фігури.

Наприклад, центр ваги відрізка (довгого однорідного стержня) знаходиться посередині. Центр мас сфери і кулі розташовується в центрі. Баріцентр конуса знаходиться на чверті висоти осьового відрізка, вважаючи від підстави.

Баріцентр деяких простих фігур на площині легко визначити геометрично. Наприклад, для плоского трикутника це буде точка перетину медіан. Для паралелограма - точка перетину діагоналей.

Центр ваги фігури можна визначити і досвідченим шляхом. Виріжте з аркуша паперу або картону будь-яку фігуру (наприклад, той же трикутник). Спробуйте встановити її на кінчику вертикально витягнутого пальця. Те місце на фігурі, для якого вийде це зробити, і буде центром інерції тіла.