Як знайти момент інерції відносно осі

Прочитайте в підручнику з фізики загальне визначення моменту інерції матеріальної точки відносно будь-якої системи координат або іншої точки. Як відомо, дана величина визначається твором маси даної матеріальної точки на квадрат відстані від даної точки, момент інерції якої визначається, до початку системи координат або до точки, щодо якої визначається момент інерції.

Зверніть увагу, що в разі, коли матеріальних точок декілька, то момент інерції всієї системи матеріальних точок визначається практично аналогічно. Таким чином, для розрахунку моменту інерції системи матеріальних точок відносно будь-якої системи координат необхідно підсумувати всі твори мас точок системи на квадрати відстаней від даних точок до загального початку системи координат.

Зауважте, що в тому випадку, коли замість точки, щодо якої ви обчислюєте момент інерції, розглядається якась вісь, то правило для обчислення моменту інерції практично не змінюється. Відмінність полягає лише в тому, як визначається відстань від матеріальних точок системи.

Намалюйте на аркуші паперу деяку лінії, яка зображує розглянуту вісь. Поруч з лінією по праву і ліву сторону поставте кілька жирних крапок, вони будуть зображувати матеріальні точки. Проведіть перпендикуляри від даних точок до лінії осі, не перетинаючи її. Відрізки, які ви отримаєте, що є фактично нормалями до лінії осі, і відповідають тим відстаням, що використовуються для розрахунку моменту інерції щодо осі. Звичайно, ваш малюнок демонструє двовимірну задачу, але в разі тривимірної ситуації рішення буде аналогічне, якщо перпендикуляри проводити в тривимірному просторі.

Згадайте з курсу початків аналізу, що при переході від набору дискретних точок до безперервного їх розподілу, необхідно перейти від підсумовування по точках до інтегрування. Це ж відноситься до ситуації, коли вам необхідно обчислити момент інерції щодо осі будь-якого тіла, а не системи матеріальних точок. В цьому випадку підсумовування по точкам переходить в інтегрування по всьому тілу з інтервалами інтегрування, які визначаються межами тіла. Маса кожної точки повинна бути представлена у вигляді твору щільності точки на диференціал об`єму. Сам же диференціал обсягу розбивається на твір диференціалів координат, по яких і проводиться інтегрування.