Як визначити координати центра ваги
В однорідному гравітаційному полі центр ваги збігається з центром мас. В геометрії поняття «центр ваги» і «центр мас» також еквівалентні, оскільки існування гравітаційного поля не розглядається. Центр мас називається ще центром інерції і барицентра (від грец. Barus - важкий, kentron - центр). Він характеризує рух тіла або системи частинок. Так, при вільному падінні тіло обертається навколо свого центру інерції.
1
Нехай система складається з двох однакових точок. Тоді центр ваги, очевидно, розташовується посередині між ними. Якщо точки з координатами x1 і x2 мають різні маси m1 і m2, то координата центру мас x (c) = (m1 · x1 + m2 · x2) / (m1 + m2). Залежно від обраного «нуля» системи відліку, координати можуть бути і негативними.
2
Точки на площині мають дві координати: x і y. При завданні в просторі додається ще третя координата z. Щоб не розписувати кожну координату окремо, зручно розглядати радіус-вектор точки: r= X ·i+y ·j+z ·k, де i,j,k - Орт координатних осей.
3
Нехай тепер система складається з трьох точок з масами m1, m2 і m3. Їх радіус-вектори, відповідно, r1, r2 і r3. Тоді радіус-вектор їх центру ваги r (c)= (M1 ·r1+m2 ·r2+m3 ·r3) / (M1 + m2 + m3).
4
Якщо система складається з довільного числа точок, тоді радіус-вектор, за визначенням, знаходиться за формулою:
r (c)= m (i) ·r (i)/ m (i). Підсумовування проводиться за індексом i (записується знизу від знака суми ). Тут m (i) - маса деякого i-го елемента системи, r (i) - Його радіус-вектор.
r (c)= m (i) ·r (i)/ m (i). Підсумовування проводиться за індексом i (записується знизу від знака суми ). Тут m (i) - маса деякого i-го елемента системи, r (i) - Його радіус-вектор.
5
Якщо тіло однорідне за масою, сума переходить в інтеграл. Розбийте подумки тіло на нескінченно маленькі шматочки масою dm. Оскільки тіло однорідне, масу кожного шматочка можна записати як dm = · dV, де dV - елементарний об`єм цього шматочка, - щільність (однакова по всьому об`єму однорідного тіла).
6
Інтегральне підсумовування маси всіх шматочків дасть масу всього тіла: m (i) = dm = M. Отже, виходить r (c)= 1 / M · · dV ·dr. Щільність, постійну величину, можна винести з-під знака інтеграла: r (c)= / M · dV ·dr. Для безпосереднього інтегрування знадобиться встановити конкретну функцію між dV і dr, яка залежить від параметрів фігури.
7
Наприклад, центр ваги відрізка (довгого однорідного стержня) знаходиться посередині. Центр мас сфери і кулі розташовується в центрі. Баріцентр конуса знаходиться на чверті висоти осьового відрізка, вважаючи від підстави.
8
Баріцентр деяких простих фігур на площині легко визначити геометрично. Наприклад, для плоского трикутника це буде точка перетину медіан. Для паралелограма - точка перетину діагоналей.
9
Центр ваги фігури можна визначити і досвідченим шляхом. Виріжте з аркуша паперу або картону будь-яку фігуру (наприклад, той же трикутник). Спробуйте встановити її на кінчику вертикально витягнутого пальця. Те місце на фігурі, для якого вийде це зробити, і буде центром інерції тіла.
Статті за темою "Як визначити координати центра ваги"
Оцініть, будь ласка статтю