Як скласти рівняння еліпса

Задайте на площині дві фіксовані точки F1 і F2. Відстань між точками нехай буде так само якомусь фіксованому значенню F1F2 = 2с.

Намалюйте на аркуші паперу пряму, яка є координатної прямої осі абсцис, і покажіть точки F2 і F1. Дані точки являють собою фокуси еліпса. Відстань від кожної точки фокуса до початку координат має дорівнювати одному і тому ж значенню, рівному c.

Намалюйте вісь ординат, утворивши таким чином Декартових систему координат, і напишіть основне рівняння, що задає еліпс: F1M + F2M = 2a. Точка М позначає поточну точку еліпса.

Визначте величину відрізків F1M і F2M за допомогою теореми Піфагора. Майте на увазі, що точка М має поточні координати (x, y) щодо початку координат, а щодо, скажімо, точки F1 точка M має координати (x + c, y), тобто «іксів» координата набуває зрушення. Таким чином, в вираженні теореми Піфагора одна з складових має дорівнювати квадрату величини (x + c), або величини (x-c).

Підставте вираження для модулів векторів F1M і F2M в основне співвідношення еліпса і зведіть обидві частини рівняння в квадрат, попередньо перемістивши один з квадратних коренів в праву частину рівняння і розкривши дужки. Після скорочення однакових членів, розділіть отримане співвідношення на 4a і знову зведіть в другу ступінь.

Наведіть подібні члени і зберіть складові з одним і тим же множником квадрата «іксів» змінної. Винесіть за дужки квадрат «іксів» змінної.

Позначте за квадрат деякої величини (скажімо, b) різниця квадратів величин a і з і розділіть отриманий вираз на квадрат цієї нової величини. Таким чином, ви отримали канонічне рівняння еліпса, в лівій частині якого сума квадратів координат, виділених на величини осей, а в лівій - одиниця.