При розгляді питань, що включають поняття градієнта, найчастіше функції сприймають як скалярні поля. Тому необхідно ввести відповідні позначення.
Вам знадобиться
Інструкція
1
Нехай функція задається трьома аргументами u = f (x, y, z). Приватну похідну функції, на приклад по х, визначають як похідну по цьому аргументу, отриману при фіксуванні інших аргументів. Для інших аргументів аналогічно. Позначення похідної записується у вигляді: Дf / дх = u`x ...
2
Повний диференціал дорівнюватиме du = (Дf / дх) dx + (Дf / дy) dy + (Дf / дz) dz.
Приватні похідні можна розуміти, як похідні за напрямками координатних осей. Тому виникає питання про знаходження похідної по напрямку заданого вектора s в точці M (x, y, z) (не забувайте, що напрямок s задає одиничний вектор-орт s ^ o). При цьому вектор-диференціал аргументів {dx, dy, dz} = {дscos (альфа), дsсоs (бета), дsсоs (гамма)}.
3
З огляду на вид повного диференціала du, можна зробити висновок, що похідна по направле-ня s в точці М дорівнює:
(Дu / ДS) | M = ((Дf / дх) | M) соs (альфа) + ((Дf / дy) | M) соs (бета) + ((Дf / дz) | M) соs (гамма).
Якщо s = s (sx, sy, sz), то напрямні косинуси {соs (альфа), соs (бета), соs (гамма)} обчислюються (див. Рис.1а).
4
Визначення похідної по напрямку, вважаючи точку М змінної, можна переписати у вигляді скалярного твори:
(Дu / ДS) = ({Дf / дх, Дf / дy, Дf / дz}, {соs (альфа), соs (бета), соs (гамма)}) = (grad u, s ^ o).
Цей вираз буде справедливо для скалярного поля. Якщо розглядається просто функ-ція, то gradf - це вектор, який має координати, що збігаються з приватними похідними f (x, y, z).
gradf (x, y, z) = {{Дf / дх, Дf / дy, Дf / дz} =) = (Дf / дх) i + (Дf / дy) j + (Дf / дz) k.
Тут (i, j, k) - орти координатних осей у прямокутній декартовій системі координат.
5
Якщо використовувати диференційний вектор-оператор Гамільтона Набла, то gradf можна записати, як множення цього вектора-оператора на скаляр f (див. Рис. 1б).
З точки зору зв`язку gradf c похідною в напрямі, рівність (gradf, s ^ o) = 0 можливо, якщо ці вектори ортогональні. Тому gradf часто визначають, як напрямок якнайшвидшого зміни скалярного поля. А з точки зору диференціальних операцій (gradf - одна з них), властивості gradf в точності повторюють властивості диференціювання функцій. Зокрема, якщо f = uv, то gradf = (vgradu + u gradv).
Рада 2: Як знайти градієнт функції
градієнт функції - Векторна величина, перебування якої пов`язане з визначенням приватних похідних функції. Напрямок градієнта вказує шлях якнайшвидшого зростання функції від однієї точки скалярного поля до іншого.
Інструкція
1
Для вирішення завдання на градієнт функції використовуються методи диференціального обчислення, а саме знаходження приватних похідних першого порядку по трьом змінним. При цьому передбачається, що сама функція і всі її приватні похідні мають властивість безперервності в області визначення функції.
2
Градієнт - це вектор, напрям якого вказує напрямок максимально швидкого зростання функції F. Для цього на графіку вибираються дві точки M0 і M1, які є кінцями вектора. Величина градієнта дорівнює швидкості зростання функції від точки M0 до
точці M1.
3
Функція диференційована у всіх точках цього вектора, отже, проекціями вектора на координатних осях є всі її приватні похідні. Тоді формула градієнта виглядає наступним чином: grad = ( F / х) • i + ( F / y) • j + ( F / z) • k, де i, j, k - координати одиничного вектора. Іншими словами, градієнт функції - це вектор, координатами якого є її приватні похідні grad F = ( F / х, F / y, F / z).
4
Прімер1.Пусть задана функція F = sin (х • z ) / y. Потрібно знайти її грaдіент в точці ( / 6, 1/4, 1).
5
Решеніе.Определіте приватні похідні по кожній змінній: F`_х = 1 / y • соs (х • z ) • z -F`_y = sin (х • z ) • (-1) • 1 / (y ) -F ` _z = 1 / y • соs (х • z ) • 2 • х • z.
6
Підставте відомі значення координат точки: F`_x = 4 • соs ( / 6) = 2 • 3- F`_y = sin ( / 6) • (-1) • 16 = -8- F`_z = 4 • соs ( / 6) • 2 • / 6 = 2 • / 3.
7
Застосуйте формулу градієнта функції: grаd F = 2 • 3 • i - 8 • j + 2 • / 3 • k.
8
Прімер2.Найдіте координати градієнта функції F = y • arсtg (z / x) в точці (1, 2, 1).
9
Решеніе.F`_х = 0 • аrсtg (z / х) + y • (аrсtg (z / х)) `_ х = y • 1 / (1 + (z / х) ) • (-z / х ) = -y • z / (х • (1 + (z / х) )) = -1-F`_y = 1 • аrсtg (z / х) = аrсtg 1 = / 4-F`_z = 0 • аrсtg (z / х) + y • (аrсtg (z / х)) `_ z = y • 1 / (1 + (z / х) ) • 1 / х = y / (х • (1 + (z / х ) )) = 1.grаd = (-1, / 4, 1).
Увага, тільки СЬОГОДНІ! Статті за темою "Як знайти градієнт"