Знайте, що кривими можна описати рух рідини, газу, світлових променів, ліній струму. Радіусом кривизни для плоскої кривої в певній точці є радіус дотичного кола в цій точці. У деяких випадках крива задається рівняннями, і радіус кривизни обчислюється за формулами. Відповідно, щоб дізнатися радіус кривизни, необхідно дізнатися радіус кола, що стосується певної точки.

Визначте на площині кривої точку А, поблизу неї візьміть ще одну точку В. Побудуйте дотичні до наявної кривої, які проходять через точки А і В.

Проведіть через точки А і В лінії, перпендикулярні побудованим дотичним, продовжите їх до перетину. Позначте точку перетину перпендикулярів, як О. Точка О є центром дотичного кола в цій точці. Значить ОА - радіус кола, тобто кривизни в даній конкретній точці А.

Зауважимо, що при русі точки по будь-якої криволінійної траєкторії в будь-який момент руху вона рухається по якійсь окружності, яка змінюється від точки до точки.

Якщо для точки в просторі визначити кривизни в двох взаємно перпендикулярних напрямках, то ці кривизни будуть називатися головними. Напрямок головних кривизн має бути обов`язково 900. Для обчислень часто використовують середню кривизну, рівну полусумме головних кривизн, і гауссову кривизну, рівну їх твору. Існує також поняття кривизни кривої. Це величина, зворотна радіусу кривизни.

Прискорення є важливим фактором руху точки. Кривизна траєкторії безпосередньо впливає на прискорення. Прискорення виникає в тому випадку, коли точка з постійною швидкістю починає рухатися по кривій. Змінюється не тільки абсолютна величина швидкості, але і її напрямок, виникає доцентрове прискорення. Тобто в реальності точка починає рухатися по колу, якої стосується в даний момент часу.

Кривизна будь-якої лінії визначається швидкістю повороту її дотичної в точці x при русі цієї точки по кривій. Оскільки тангенс кута нахилу дотичної дорівнює значенню похідної від f (x) в цій точці, то швидкість зміни цього кута повинна залежати від другої похідної.

Еталоном кривизни логічно прийняти окружність, оскільки вона рівномірно викривлена на всьому своєму протязі. Радіус такої окружності є міра її кривизни.

За аналогією, радіусом кривизни заданої лінії в точці x0 називається радіус кола, яка найбільш точно вимірює ступінь її викривленості в цій точці.

Необхідна окружність повинна стикатися із заданою кривою у точці x0, тобто розташовуватися з боку її увігнутості так, щоб дотична до кривої в цій точці була також і дотичної до кола. Це означає, що якщо F (x) - рівняння кола, то повинні виконуватися рівності:

F (x0) = f (x0),
F `(x0) = f` (x0).

Таких кіл, очевидно, існує нескінченно багато. Але для вимірювання кривизни необхідно вибрати ту, яка найбільш точно відповідає заданій кривій в цій точці. Оскільки кривизна вимірюється другої похідної, то до цих двох равенствам необхідно додати ще й третє:

F `` (x0) = f `` (x0).

Виходячи з цих співвідношень, радіус кривизни обчислюється за формулою:

R = ((1 + f `(x0) ^ 2) ^ (3/2)) / (| f` `(x0) |).

Величина, зворотна радіусу кривизни, називається кривизною лінії в даній точці.

Якщо f `` (x0) = 0, то радіус кривизни дорівнює нескінченності, тобто лінія в цій точці не викривлений. Це завжди вірно для прямих, а також для будь-яких ліній в точках перегину. Кривизна в таких точках, відповідно, дорівнює нулю.

Центр кола, що вимірює кривизну лінії в заданій точці, називається центром кривизни. Лінія, що є геометричним місцем для всіх центрів кривизни заданої лінії, називається її еволюта.