Як змінити час і дальність польоту тіла
рух тіла, кинутого під кутом до горизонту, описується в двох координатах. одна характеризує дальність польоту, інша - висоту. Час польоту залежить саме від максимальної висоти, яку досягає тіло.
1
Нехай тіло кинуто під кутом до горизонту з початковою швидкістю v0. Початкові координати тіла нехай будуть нульовими: x (0) = 0, y (0) = 0. У проекціях на координатні осі початкова швидкість розкладеться за двома складовими: v0 (x) і v0 (y). Те ж саме відноситься до функції швидкості взагалі. По осі Ox швидкість умовно вважається постійною, по осі Oy змінюється під впливом сили тяжіння. Прискорення вільного падіння g можна прийняти приблизно за 10м / с?.
2
Кут , під яким кинуто тіло, заданий не випадково. Через нього можна розписати початкову швидкість в координатних осях. Так, v0 (x) = v0 · cos ( ), v0 (y) = v0 · sin ( ). Тепер можна отримати функцію координатних складових швидкості: v (x) = const = v0 (x) = v0 · cos ( ), v (y) = v0 (y) -g · t = v0 · sin ( ) -g · t.
3
Координати тіла x і y залежать від часу t. Таким чином, можна скласти два рівняння залежності: x = x0 + v0 (x) · t + a (x) · t / 2, y = y0 + v0 (y) · t + a (y) · t / 2. Оскільки за умовою x0 = 0, a (x) = 0, то x = v0 (x) · t = v0 · cos ( ) · t. Також відомо, що y0 = 0, a (y) = - g (знак «мінус» з`являється від того, що напрямок прискорення вільного падіння g і позитивний напрямок осі Oy протилежні). Тому y = v0 · sin ( ) · t-g · t / 2.
4
Час польоту можна виразити з формули швидкості, знаючи, що в максимальній точці тіло на мить зупиняється (v = 0), а тривалості «підйому» і «спуску» рівні. Отже, при підстановці v (y) = 0 в рівняння v (y) = v0 · sin ( ) -g · t виходить: 0 = v0 · sin ( ) -g · t (p), де t (p) - піковий час, «t вершинний». Звідси t (p) = v0 · sin ( ) / g. Загальний час польоту тоді виразиться як t = 2 · v0 · sin ( ) / g.
5
Ту ж формулу можна отримати і іншим способом, математичним, з рівняння для координати y = v0 · sin ( ) · t-g · t / 2. Це рівняння можна переписати в трохи зміненому вигляді: y = -g / 2 · t + v0 · sin ( ) · t. Видно, що це квадратична залежність, де y - функція, t - аргумент. Вершиною параболи, яка описує траєкторію, є точка t (p) = [- v0 · sin ( )] / [- 2g / 2]. Мінуси і двійки скорочуються, тому t (p) = v0 · sin ( ) / g. Якщо позначити максимальну висоту за H і згадати, що пікова точка є вершиною параболи, по якій рухається тіло, то H = y (t (p)) = v0 sin ( ) / 2g. Тобто, щоб отримати висоту, треба «t вершинний» підставити в рівняння для координати y.
6
Отже, час польоту записується як t = 2 · v0 · sin ( ) / g. Щоб його змінити, треба відповідно змінювати початкову швидкість і кут нахилу. Чим більше швидкість - тим довше летить тіло. З кутом трохи складніше, адже час залежить не від самого кута, а від його синуса. Максимально можливе значення синуса - одиниця - досягається при куті нахилу в 90 °. Це означає, що найдовше тіло летить тоді, коли його кидають вертикально вгору.
7
Дальність польоту є кінцевою координатою x. Якщо підставити знайдене вже час польоту в рівняння x = v0 · cos ( ) · t, то легко знайти, що L = 2v0 sin ( ) cos ( ) / g. Тут можна застосувати тригонометричну формулу подвійного кута 2sin ( ) cos ( ) = sin (2 ), тоді L = v0 sin (2 ) / g. Синус двох альфа дорівнює одиниці тоді, коли 2 = п / 2, = п / 4. Таким чином, дальність польоту максимальна в тому випадку, якщо тіло кинути під кутом 45 °.
Статті за темою "Як змінити час і дальність польоту тіла"
Оцініть, будь ласка статтю